我们需要明确函数$f(x) = \cos x$的定义域和值域。
由于$\cos x$的值域为$[-1, 1]$，所以$f(x)$的定义域为$[-\pi, \pi]$。
接下来，我们求出$f(x)$的导数。
根据微积分的基本定理，如果$f(x)$在区间$[a, b]$上连续，那么$f(x)$在区间$[a, b]$上的导数为：
$$\frac{d}{dx}f(x) = f'(x)$$
对于$f(x) = \cos x$，我们可以使用三角函数的导数公式来求导。
已知$\cos x$的导数为$-sin x$，因此：
$$\frac{d}{dx}\cos x = -sin x$$
$f(x)$的导数为：
$$f'(x) = -sin x$$
现在，我们需要找到$f(x)$的反函数。
由$f(x) = \cos x$，我们可以解出$x$：
$$x = \arccos(f(x))$$
如果我们假设$f(x)$是一个周期为$T$的周期函数，那么它的反函数可以表示为：
$$f^{-1}(y) = \frac{T}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\ln|y|}{\ln(1 + |y|)}$$
其中$y$是$f(x)$的输入值。
由于题目没有给出$f(x)$的具体形式，我们无法给出一个具体的反函数表达式。最终答案是：
$f(x)$的反函数的导数为$-sin x$，但无法给出一个具体的反函数表达式，因为题目没有给出$f(x)$的具体形式。